پایه‌گذاری حساب بر منطق از سوی راسل

این تناقض را می توان به آسانی هنگام تلاش برای گسترش منطق به نظریه مجموعه ها و توضیح اینکه چگونه می‌توان حساب را براساس منطق بنا کرد، نشان داد. راسل تناقض را هنگام اندیشیدن درباره «پارادکس» کانتور که بیان می‌کند بزرگترین عدد ترتیبی وجود ندارد، کشف کرد.

پارادکس کانتور مبتنی براین قضیه (theorem) بود که تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه S مفروض همیشه بزرگتر از تعداد اعضای خود S است. کانتور این قضیه را با استنتاج یک تناقض از این فرضیه که هیچ تناظر یک – به – یک میان زیرمجموعه های S و اعضای S وجود ندارد اثبات می کند. تناقض بدین صورت مطرح می شود: درنظر بگیرید که زیرمجموعه S که اعضایش فقط آن اعضای S هستند که به زیر مجموعه S تعلق ندارند که با آن تحت تناظر مفروض متناظرند. از آنجا که این مجموعه باصطلاح "diagonal" D یک زیرمجموعه S است، آن باید همچنین با عضوی از S بگو d، متناظر باشد. کانتور اکنون می پرسد که آیا d به D تعلق دارد: با فرض اینکه d و D تعریف شده اند، آشکار می شود که d بهD  تعلق دارد اگر و تنها اگرd به D تعلق نداشته باشد، که از این به آسانی می توان این تناقض آشکار را استنتاج نمود که d هم به D تعلق دارد و هم به D تعلق ندارد.  گذر از قضیه کانتور به پارادکس راسل آسان است.

به جای تناظر hypothetical  یک – به – یک میان اعداد یک مجموعه با زیر مجموعه هایش، درعوض، رابطه غیر hypothetical میان یک چیز و خودش را درنظر بگیرید. آنگاه تمثیل مجموعه “diagonal” D کانتور درباب چیزهایی که اعضای مجموعه ای که با آن به طورhypothetical  متناظرند بسادگی مجموعه R درباب چیزهایی می شود که اعضای خودشان نیستند. تحت تناظر اینهمانی البته R با خودش متناظر است؛ از این رو، در پرسش آیا R به آنچه که با آن تناظر دارد تعلق دارد، ما بسادگی به واقع این سوال را مطرح می کنیم که آیا R  به R تعلق دارد یا نه. اما از آنجایی که R مجموعه چیزهایی است که به خودشان تعلق ندارند، نتیجه می شود که R به R تعلق دارد اگر و تنها اگر R به R  تعلق دارد و اگر و تنها اگر R به R تعلق نداشته باشد.

کشف این پارادکس باعث تاخیر انتشار اصول ریاضیات تا سال 1903 شد و راسل بیشتر وقت خود را صرف تحقیق پیرامون این مساله نمود. او همچنین به تفکر درخصوص مشکلات مربوط به ساختار حکم پرداخت. این مشکلات دو نوع بودند: (1) وحدت حکم و (2) ساختار احکام کلی.

دیدگاه راسل در اصول ریاضیات درخصوص این دو مساله، تحت تاثیر مور قرار داشت. گزاره ها نمایش هایی از عالم واقع نیستند که وقتی صادق اند با واقعیت مطابقت دارند، بلکه گزاره های صادق فقط امور واقع به شمار می آیند. هیچ تفاوتی میان «مرگ سزار» و این گزاره (صادق) که «سزار مرده است» وجود ندارد. چون مرگ او چیزی است که برای سزار رخ داده، سزار خود یک «سازه» (constituent) گزاره «سزار مرده است» می باشد. درواقع، گزاره فقط یک «ترکیب» یا «مجموعه ای» است که سازه هایش سزار و مرگ (که یک محمول است) می باشند.

مشکلی که اکنون درخصوص «وحدت» حکم مطرح می شود این است که چگونه یک گزاره کامل تشکیل می شود. راسل این را دررابطه با این گزاره که «الف با ب متفاوت است» مورد بحث قرار می دهد. سازه ها اینجا عبارت اند از الف، ب و تفاوت؛ اما صرفاً این شیوه مشخص نمودن آنها مساله را حل نمی کند، زیرا اینها سازه های گزاره دیگر «ب با الف متفاوت است» نیز می باشند. مثال بهتر می تواند این باشد: «الف از ب بزرگتر است» که آشکارا با گزاره «ب از الف بزرگتر است» تفاوت دارد. راسل بحث خود را چنین جمع بندی می کند: «تفاوتی که در گزاره رخ می دهد واقعاً الف و ب را مرتبط می سازد، درحالی که تفاوت پس از تحلیل همانا مفهومی است که هیچ ارتباطی با الف و ب ندارد.» (اصول ریاضیات، ص 49) و «یک گزاره، بواقع، اساساً یک وحدت است، و وقتی تحلیل، وحدت را تخریب کرده باشد، هیچ گونه بازسازی ای از سازه ها، گزاره را مجدداً تجمیع نخواهد کرد.»

راسل نظریه طبقات (theory of types) را برای حل این پارادکس ارائه نمود که روایت مقدماتی آن درضمیمه B در کتاب اصول ریاضیات آمد. راسل برآن بود که هر تابع گزاره ای (propositional function) علاوه بر حوزه مقادیر ارزش (range of truth)، حوزه دلالت (range of significance) نیز دارد. مثلاً در تابع گزاره ای «x فانی است»، می توانیم به جای متغیرx سلسله ارزش هایی بگذاریم که گزاره های منتجه صادق باشند. بدینسان «سقراط میرا است» صادق است، ولی ارزش هایی نیز هست که اگر جانشین x شود، گزاره های منتجه را نه صادق و نه کاذب، بلکه بی معنا خواهد کرد.

مثلاً «مجموعه انسانها میرا است» بی معنا است. زیرا مجموعه انسانها شیء یا عینی نیست که میرایی یا نامیرایی بتواند به نحو معناداری برآن حمل شود. از «اگر x انسان است، x میرا است» می توانیم استنتاج کنیم «اگر سقراط انسان است، سقراط میرا است»؛ ولی نمی‌توانیم استنتاج کنیم که مجموعع انسانها میرا است. زیرا مجموعه انسانها نه انسان است و نه می تواند انسان باشد. به عبارت دیگر، مجموعه انسانها نمی تواند عضو خودش باشد: درواقع لغو است که از عضو خود بودن یا نبودن آن سخن بگوییم. راسل خود مثالی می آورد. یک باشگاه مجموعه ای از افراد است. و می تواند عضو مجموعه‌ای از طبقه دیگر نظیر انجمن باشگاهها- که مجموعه‌ای از مجموعه ها است – باشد. ولی نه مجموعه و نه مجموعه مجموعه‌ها نمی‌تواند عضوی از اعضای خود باشد. و اگر تفاوتهای میان طبقات ملحوظ گردد، تعارض یا پارادکس درمنطق مجموعه‌ها پیش نمی‌آید.