کتاب باعث تحولی مهمی در ریاضیات شد و می تواند گفت که منطق ریاضی را بنیاد نهاد. این اثر همچنین نیروی محرک اصلی در مبانی ریاضیات در قرن بیستم به حساب می آید. بعد از کتاب "ارغنون" ارسطو این اثر مهمترین اثر منطقی از زمان نگارشش محسوب می شود.
منطق گرایی دیدگاهی است که بر طبق آن پاره ای یا همه ریاضیات می تواند به منطق صوری فروکاسته شود. این دیدگاه معمولاً بر حسب دو فرضیه تبیین می شود. اول آنکه این نظریه شامل مدعایی است که بر طبق آن همه حقایق ریاضی می توانند به حقایق منطقی ترجمه شوند یا به عبارت دیگر واژگان ریاضیات زیرمجموعه مناسبی از واژگان منطق هستند. دوم اینکه این نظریه مشتمل بر این مدعا است که همه دلایل ریاضی می توانند بر حسب دلایل منطقی بازسازی شوند. به عبارت دیگر قضیه های ریاضی زیرمجموعه ای از قضایای منطق به حساب می آیند. اگر بخواهیم با زبان راسل صحبت کنیم می توانیم بگوییم که همه هدف چنین منطقدانی این است که نشان دهد همه ریاضیات محض از فرضهای منطقی محض ناشی می شوند و ریاضیات تنها مفاهیم قابل تعریف را بر حسب اصطلاحات منطقی به کار می برد.
منطق گرایی در اساس خود در ابتدا در قرن هفدهم از سوی لایب نیتز مورد حمایت و تأیید قرار گرفت. بعد از آن این ایده با جزییات بیشتری مورد حمایت گوتلب فرگه واقع گشت. در جریان انتقادی که در دهه 1820 آغاز شد ریاضیدانانی مانند برنارد بولزانو ، نیلز آبل، لوییس کاچی و کارل ویراستراس سعی کردند بسیاری از ابهامها و تناقضاتی را که در نظریه های ریاضیات زمانشان بودند از بین ببرند. در اواخر دهه 1880د ویلیام همیلتون زوجهای منظمی از واقعیات را به عنوان اولین مجموعه ای که مبانی منطقی اعداد مختلط را تأمین می کنند پیشنهاد کرد. در همین فضا کارل ویراستراس ، ریچارد ددکیند و جورج کانتور روشهایی را برای بنیاد قرار دادن امور نامعقول بر حسب امور معقول بسط دادند. با مدد گرفتن از کارهای گراسمان و ریچارد ددکیند ، پینو نظریه ای را در باب امور معقول بسط داد که بر اصول اولیه مشهورش در باب اعداد طبیعی استوار بود. از این رو در زمان فرگه این نکته به صورت کلی پذیرفته شده بود که بخشی مهم از ریاضیات می تواند از مجموعه نسبتاً اندکی مشتمل بر مفاهیم اولیه ناشی و استنتاج شوند.
با وجود این تحولات این مهم تا سال 1879 زمانی که فرگه ابزارهای منطقی ضروری را بسط داد محقق نشد. در این زمان بود که طرح منطق گرایی توانست مورد قبول واقع شود. فرگه پس از 5 سال کار مداوم به تعاریفی رسید که برای منطقی کردن ریاضیات ضروری بود و در دهه 1890 بود که نتایج اساسی بسیاری را از کشف خود گرفت. با این همه با کشف تناقض نماهایی که به تناقض نمای راسل مشهور هستند و این مهم در اوان سده بیستم رخ داد واضح گشت که منابعی اضافی مورد نیازند تا مفروض گرفته شوند اگر می خواهیم منطق گرایی موفق باشد.
در سال 1903 راسل و وایتهد با هم به نتیجه ای یکسان رسیدند. در این زمان هر دو گامای اولیه را برای نگاشتن جلد دوم کتابی با عنوان "اصول ریاضیات" برداشتند. وایتهد که در سال 1898 کتاب "رساله ای در باب جبر کلی" و راسل که در سال 1903 کتاب "اصول ریاضیات" را نگاشته بودند دستاوردهای خود را یک کاسه کردند و به آنچه در نهایت "اصول ریاضیات" نامیده شد رسیدند. بر حسب توافقی که این دو با هم داشتند راسل در ابتدا بروی بخش فلسفی طرح کار می کرد ( از جمله مفدمه ای که از جهت فلسفی غنی بود و نظریه توصیفها و نظریه بدون رتیه) و از سوی دیگر هردو در بخشهای فنی مشارکت داتشند. اینگونه به نظر می رسد که طرح، یکساله به پایان می رسد اما بعدراز از قریب به یک دهه سختی کار انتشارات دانشگاه کیمبریج به این نتیجه رسید که که این کار زیانی 600 پونددی را به همراه خواهد داشت. . انتشارات نصف این زیان را متقبل شد و انجمن سلطنتی هم 200 پوند کمک کرد. بعد از اینکه وایتهد و راسل هرکدام مبلغ 50 پوند به انتشارات دادند تا کیمبریج راضی شود آن را به چاپ رساند. با این همه هم اکنون هیچ کتابخانه دانشگاهی در سرتاسر جهان نیست که این کتاب را نداشته باشد.
اهمیت کتاب "اصول ریاضیات"
تحقق هدف اصلی "اصول ریاضیات" به نظر مناقشه آمیز می آید. در ابتدا آنچه مورد بحث بود انواعی از مفروضاتی بودند که راسل و وایتهد نیاز داشتند تا طرحشان را کامل نمایند. با این همه "اصول" در ارائه استنتاجات تخصصی از قضیه های اصلی نظریه مجموعه ها، جبر مطلق و فرامطلق و نظریه اندازه گیری اولیه موفق است. دو فرض که در این کتاب غیرمنطقی بودند از این قرارند: فرضی بی نهایتی و فرض قابلیت فروکاستن. فرض بی نهایت در واقع بیان می کند که تعداد بی نهایت از اشیا در خارج وجود دارند. این نوعی فرض است که بیشتر تجربی به نظر می رسد تا منطقی. فرض قابلیت فروکاستن هم به عنوان ابزاری برای غلبه بر تآثیرات غیرریاضی بخش نظریه انواع معرفی شد که بر طبق آن راسل و وایتهد قصد داشتند مفهوم بیان منتظم را مقید و محدود کنند و از تناقضاتی که به نام راسل مشهور است پرهیز نمایند. با این همه هرچند این مشی از جهت فنی باور پذیر است منتقدان زیادی به این نتیجه رسیده اند که فرض غیرفروکاستن بسیار بدیهی و موقتی است و بدین جهت از جهت فسلفی توجیه پذیر نیست. نتیجه اینکه پرسش اینکه آیا ریاضیات می توانست به منطق فروکاست شود یا نه یا می توانست به نظریه مجموعه ها فروکاسته شود یا نه همچنان گشوده باقی می ماند.
علیرغم این انتقادات پرینسیپا در سه ساحت تأثیرگذار بوده است: در ابتدا این اثر منطق ریاضی را تا گسترده ای که در مخلیه نویسندگانش نمی گنجید گسترش داد. وایتهد و راسل با استفاده از تأکیدی بیش از تأکید فرگه قدرت تبیینی خارق العاده منطق محمولی مدرن را به شیوه ای گسترش دادند. نویسندگان قبلی در انجام این کار بجد ناتوان بودند. دوم اینکه با نشان دادن قدرت استنتاجی منطق جدید راسل و وایتهد قادر شدند تا نشان دهند چگونه ایده مدرن نظام صوری می تواند قدرتمند باشد و می تواند فعالیت جدیدی را بگشاید که بزودی به فرامنطق معروف گشت. سوم اینکه این اثر ارتباطات میان منطق گرایی و دو شاخه فلسفه سنتی یعنی مابعدالطبیعه و معرفت شناسی را مورد تأیید قرار داد و بنابراین در هر دوی این حوزه ها سرمنشای کارهای جالب توجهی شد.
بنابراین نه تنها "اصول ریاضیات" طیفی گسترده از مفاهیم ژرف فلسفی را معرفی می کند ( چون: کارکرد گزاره ای ، ساختار منطقی و نظریه انواع) که بستری برای کشف نتایج ریاضی کلاسیک فراهم می سازد ( نظیر نظریه گودل و دیگران) و سنتی را در کارهای فنی مشترک در حوزه هایی متفرق چون: ریاضیات، زبان شناسی ، اقتصاد و علوم رایانه ای بدعت می گذارد.
امروزه مناقشه ای در باب این اثر مهم وجود دارد. پاره یا افراد معتقدند که شالوده فنی و فلسفی طرح راسل و وایتهد بسی ضعیف و مبهم است و بدین جهت به کار منطقدانان نمی آید. خوانندگان علاقمند می توانند به کارهای هال و راتی، کواین ، لاندینی و لینسکی مراجعه کنند تا با پاره ای از این انتقادات آشنا شوند. با این همه جای تردید نیست که همان طور که ذکر آن رفت کتاب "اصول ریاضیات" پس از "ارغنون" مهمتریمن کتاب در منطق و فلسفه منطق کل تاریخ بشری است.
نظر شما