"اصول ریاضیات" هنوز هم اثری مهم است

دکتر موسویان عضو هیئت علمی موسسه پژوهشی حکمت و فلسفه ایران در ابتدای این سخنرانی با اشاره به اینکه داستان تاریخ کتاب اصول ریاضیات را بیان خواهد کرد، گفت: علاوه بر اینکه داستان تاریخ کتاب اصول ریاضیات را بیان می‌کنم برداشت‌های نادرست در مورد این کتاب و موارد مغفول را توضیح خواهم داد.

 

وی افزود: سئوال مهم این است که آیا اصول ریاضیات امروز هم مهم است. نشان خواهم دادکه کتاب اصول ریاضیات امروزه هم از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. باید توجه داشت که اصول ریاضیات کتابی است که توسط راسل و وایتهد نوشته شده است. 4 اثر در تدوین اصول ریاضیات موثر بوده که یکی از آنها کار و اثر فرگه است. کتاب دیگری که در تدوین این اثر موثر بوده کتاب پیانو با عنوان "اصول حساب و روش جدید" است. اثر دیگر نوشته وایتهد با عنوان "جبر جهانی"‌و دیگری کتاب "اصول ریاضیات" اثر راسل در سال 1903 میلادی است. کتاب اصول ریاضیات اثر راسل و وایتهد در سه جلد نوشته شده است که جلد اول مقدمه طولانی دارد و در آن مبانی اصلی فلسفی کتاب به طور خلاصه بیان شده است. در این بخش نظریه طبقات مورد بررسی قرار گرفته است. قسمت اول کتاب منطق ریاضی است. در جلد دوم علم حساب نظری اصلی بحث می‌شود و مفاهیم پایه ریاضی را به زبان منطق توضیح می‌دهد.

 

وی تصریح کرد: جلد سوم به کمیت می‌پردازد و بخشی از آن ادامه جلد دوم است. یک سئوال بعد از نوشتن کتاب وجود داشته که آیا این کتاب نوشته مشترک راسل و وایتهد است یا نه.

 

وی افزود: مشهور است که این کتاب را راسل نوشته و نام وایتهد کنار او قرار گرفته است ولی باید توجه داشت که این طور نبوده است. راسل با وایتهد در عمل در نوشتن هر قسمت از کتاب با یکدیگر بحث و گفتگو کردند و چاپ اول کتاب کار مشترک هر دو نفر بوده است.  نکته دیگر این است که مشهرو است که کتاب اصول ریاضیات در مقایسه با کار فرگه یک برگشت بوده است. این امر ریشه در مقاله گودل در سال 1944 دارد.

 

وی خاطرنشان  کرد: قسمت‌های اول تا 21 کتاب اصول ریاضیات  به نظر گودل برگشت به عقب است. گودل می‌گوید این اولین پروژه جامع و کامل از منطق ریاضی است و پروژه فرگه به این اندازه  جامع و کامل نیست.

 

وی افزود: مشهور است که کتاب اصول ریاضیات بنیان‌گذار یک پروژه به نام منطق‌گرایی است. منطق‌گرایی معقتد است همه حقایق پایه حساب را می‌توانیم از یک نظام استنتاجی واحد با یک مجموعه مشخص اصول موضوعه را معین و استخراج کنیم.

 

این استاد دانشگاه در ادامه گفت:‌ گفته شده که اصول ریاضیات اوج کار منطق‌گرایی است که این ادعایی درست است. نکته قابل توجه در خصوص این موضوع این است که هیچ جا در اصول ریاضیات این ادعا به صراحت نیامده که ریاضیات منطق است و راسل هیچ‌جا در این کتاب به صراحت این موضوع را بیان نکرده است ولی به نظر می‌رسد در این پروژه ریاضیات به منطق تبدیل شود. سئوال این است که چرا راسل این موضوع را تصریح نکرده است.

 

وی افزود: باور عمومی این است که منطق‌گرایی شکست خورد. گودل دو قضیه ناتمامیت را مطرح می‌کند که قضیه اول ناتمامیت او منطق‌گرایی را زیر سئوال می‌برد حال چرا برخی بعد از قضیه گودل معتقد بودند که منطق‌گرایی زنده است. با وجود اینکه قضیه گودل منطق‌گرایی را رد می‌ کند چرا بعد از او منطق گرایی زنده است برای نمونه همپل در سال 1945 می‌گوید ریاضیات شاخه‌ای از منطق است و همه مفاهیم ریاضیات را می‌شود با منطق بیان کرد.

 

عضو هیئت علمی موسسه پژوهشی حکمت و فلسفه ایران تاکید کرد: یک دلیل عمده‌ای که پروژه اصول ریاضیات شکست خورد این است که فرض در این بود که اصول ریاضیات یک پروژه منطق است اگر این فرض را بپذیریم سئوال این خواهد بود که اگر ریاضی قابل تحویل به منطق است در منطق نباید هیچ اصل غیرمنطقی وجود داشته باشد. این در حالی است که در اصول ریاضیات اصول موضوعه و آکسیوم‌هایی چون بی‌نهایت، تعین ناپذیری و اصل انتخاب غیر منطقی هستند. در مقدمه کتاب اسم‌های خاصی داریم ولی در همان مقدمه گفته می‌شود این ضوابط نباید در منطق به کار برده شود.

 

وی تصریح کرد: لذا اگر اصول ریاضیات یک پروژه منطقی بوده باید تمام اصول آن منطقی باشد که مشاهده شد همه اصول آن منطقی نیستند. اصول ریاضیات طی سالهای 1925 تا 1927 میلادی مجددا‍ چاپ شد. در این چاپ مطالب جدیدی عرضه شد که مورد غفلت قرار گرفت. چاپ دوم با چاپ اول در چند جا اختلاف دارد که برخی آنها را مهم نمی‌دانند.

 

موسویان در ادامه سئوال مشهور در مورد اصول ریاضیات را مجدداً بیان و گفت: آیا اصول ریاضیات کار راسل است یا کار مشترک راسل و وایتهد. جلد دوم کتاب اصول ریاضیات یک مقدمه و سه پیوست دارد. این مقدمه و پیوست‌ها کار راسل است و این باعث شده که چاپ اول را نیز کار راسل بدانند ولی باید توجه داشت که چاپ اول کتاب کار مشترک هر دوی‌ ٱنها بوده است. وایتهد به مطالب اضافه شده در جلد دوم چندان روی خوش نشان نداد و آنها را نادرست می دانسته است.

 

وی افزود: در پیوست دوم راسل می‌گوید اصل استقرای ریاضی را می‌توان بدون اصل REDUCIBLITY(تحویل پذیری) ثابت کرد. این در حالی است که این اصل اساس اصول ریاضیات است. این ادعای راسل ادعای گزاف است. این ادعا را راسل برای چند نفر از جمله فرانک رمزی که شاگردش است می فرستد.

 

وی تصریح کرد:  چاپ دوم کتاب که منتشر شد نه ویتگنشتاین و نه رمزی اعتراضی به مقدمه و پیوست‌ها نمی‌کنند. در سال 1944 گودل مقاله‌ای درباره مطالب اضافه شده به چاپ دوم کتاب می‌نویسد. گودل می‌گوید برهان راسل برای ادعایش در پیوست "ب" نتیجه بخش نیست از این رو گودل به راسل نامه‌ای می نویسد که راسل جوابی به این نامه نمی‌دهد.

 

این استاد د انشاگه خاطرنشان کرد: مای هیل مقاله‌ای در سال 1974 متنشر می‌کند و می‌گوید غلط‌های زیادی در پیوست "ب" چاپ دوم کتاب وجود دارد. این ادعای هیل باعث شد تا مقاله گودل مورد توجه جدی‌تر قرار گیرد و دوباره خوانده شود. لینسکی می‌گوید خطای راسل آنچنان که مای هیل می‌‌گوید یک خطای ساده نیست.

 

وی تاکید کرد: این سئوال مطرح است که آیا پروژه راسل را می‌شود حفظ کرد  و نجات داد. برخی معتقدند که می‌شود پروژه راسل را با معرفی یک نظریه انواع جدید نجات داد و در خصوص این موضوع که آیا چاپ دوم اصول ریاضیات مهم است به رغمی که برخی می گویند این چاپ اهمیتی ندارد باید توجه داشت از سال 2001 به این طرف با توجه به تحولات رخ داده در منطق این چاپ اهمیت به‌سزایی یافته است.