دغدغه‌های راسل در "اصول ریاضیات"

راسل درسال 1872 زاده شد.  خانواده اش یکی از خانواده های بزرگ لیبرال در پهنه سیاسی انگلستان بود. جدش، لرد جان راسل، دوبار در طی سالهای نیمه اول قرن نوزدهم نخست وزیر بود. راسل در خردسالی پدر و مادر خویش را از دست داد، به طوری که پرورش او در 4 سالگی (1876) به پدربزرگ و مادربزرگش سپرده شد (درواقع به مادربزرگش زیرا پدربزرگ او در 1878 درگذشت.)

راسل در سال 1890 به کیمبریج رفت و به تحصیل در رشته ریاضیات پرداخت. پس از چندی از شیوه قدیمی تدریس ریاضیات ناخرسند گشت و در 1893 به مطالعه فلسفه روآورد. در 1894 بالاترین رتبه را در امتحانات نهایی کسب کرد و تقریباً بی درنگ شروع به نگارش رساله خویش نمود. در مطالعات خویش از آراء مک تاگرت (Mc Taggart) تاثیر پذیرفت و به سنت هگلی گرایش پیدا کرد. سال 1894، یعنی سالی که کیمبریج را ترک کرد، تا سال 1898 به این اندیشه ادامه داد که متافیزیک می تواند حقایقی را درمورد جهان اظهار نماید.

تاثیر ایدئالیسم و سنت هگلی ای که در بریتانیای آن زمان رواج یافته بود را می توان در رساله ای که راسل درباب بنیادهای هندسه نوشت ملاحظه نمود. راسل دراین رساله علاوه بر ارائه یک بنیاد کانتی برای هندسه، به شیوه ای هگلی استدلال می کند که درتلقی انتزاعی درباب نقاط درمکان هندسی تناقضهایی وجود دارد که آنها را تنها می توان با تجسم هندسه در ساختار فیزیکی مکان، برطرف کرد.

این باعث شد که او درباره بنیادهای فیزیک به ویژه مسائل مربوط به یکنواختی مکان و زمان، به مطالعه بپردازد. افزون براین تحقیقات، عامل دیگری که موجب شد راسل به نقد ایدئالیسم بپردازد و خود را ازاین گونه اندیشیدن برهاند، بحث های جرج ادوارد مور بود. مور دوسال از راسل جوان تر بود. مور در رساله خویش که در 1898 نوشت چنین استدلال کرد که هیچ دلیلی وجود ندارد که درواقع در ازای اجزای یک گزاره حتماً امور واقعی وجود داشته باشند، بلکه ما فقط با گزاره ها و اجزای گزاره ها مواجهیم. یکی از مستلزمات این بیان این است که ساختار مکان مستقل از تجربه ما از آن است، بنابراین، مور دیدگاه راسل درباب بنیادهای هندسه را به نقد کشید، و راسل بی درنگ با مور دراین باره موافقت کرد. راسل رساله مور را خواند و دیدگاه او درباره گزاره را پذیرفت. هرچند بعداً اشکالاتی از پذیرش این دیدگاه در اندیشه اش به وجود آمد، اما در آن زمان او امکاناتی را دراین فلسفه رئالیستی جدید یافت.

راسل در جولای 1900 به همایش بین المللی فلسفه در پاریس رفت و از سخنرانی پئانو که حساب را با استفاده از تکنیک های منطقی، صورتبندی می کرد، تاثیر پذیرفت. پئانو خود درصدد طرح ریزی یک بنیاد کاملاً منطقی برای ریاضیات نبود، او پیشنهادی برای تعاریف منطقی مفاهیم «0»، successor، و «عدد» که در اصول موضوعه وی بودند، ارائه نکرد. اما راسل با شنیدن سخنرانی وی این فرضیه را پرورش داد که ارائه این گونه تعاریف ممکن است، و بنابراین، ریاضیات درنهایت بلوغ منطق است. این نگرش جدید به راسل فرصت داد که نقادی هایش را درباب فلسفه ایدئالیستی دنبال کند. اومی نویسد: «دو پرسش مهم برای ما درخصوص نظریه کانتی هست: (1) آیا استدلالهای ریاضی با استدلالهای منطقی متفاوت اند؟ (2) آیا در مفاهیم زمان و مکان تناقض هایی وجود دارد؟ اگر بتوانیم این دو ستون بنای کانتی را فرو بریزیم، نقش سامسون درخصوص disciples اش را به طور موفقیت آمیزی ایفا نموده ایم.» (اصول ریاضیات، لندن: آلن و آنوین، ص 457)

در تدارک پاسخی منفی به پرسش دوم بالا، راسل توجه بیشتری به کارهای وایرشتراس (Weierstrass)  و کانتور نمود. او به تفصیل درباره مفهوم «بی نهایت» از دیدگاه این دو ریاضیدان به بحث پرداخت و رفته رفته احساس کرد که آراء ایدئالیست ها درباب زمان و مکان بی پایان درست نیست.

راسل طی یک کار فشرده سه ماهه کتاب اصول ریاضیات را که بیش از پانصد صفحه است نگاشت و سپس به یک «تناقض» پی برد که اکنون معمولاً به «پارادکس راسل» مشهور است.