فرگه از سال 1879 تا 1906 کوشید برای حساب بنیانهای محکمی را فراهم نماید. واژه «حساب» برای وی گستره قابل توجهی داشت: نظریه اعداد (یعنی نظریه اعدادطبیعی) ومساله تحلیل، یعنی نظریه اعداد حقیقی و مرکب. او سعی نکرد برای هندسه بنیادهایی فراهم کند. نظر او درباره ریاضیات برخاسته از یک دیدگاه سنتی بود که تقسیم می شد به (1)نظریه کمیت (یا مقدار) و ازاین رو اعداد ترتیبی و(2) اعدادی که کمیت ها و مقدارها را اندازه گیری می کنند(اعدادحقیقی) و همچنین (3) نظریه مکان (نقاط، خطوط، و شکلها). او براین باور بود که این دو بخش ریاضیات بنیادهایی متفاوت دارند. بنیادهای حساب – یعنی بنیادهای نظریه اعداد و تحلیل- کاملا منطقی اند. اما هرچند حقایق هندسی، پیشینی (ماتقدم) هستند، آنها برشهود مکانی استوارند.
فرگه کوشش خود را درتاسیس بنیادهای کاملا منطقی حساب صرف نمود و درراه به انجام رسانیدن این مهم، به پژوهشهای فلسفی رو آورد. سه کتاب حاصل این تلاش بود: (1) مفهوم نگاری (1879) که صورتبندی جدیدی از منطق به شکل یک نظام اکسیوماتیک منطق محمول ها عرضه نمود. او دراین کتاب هشتادو هشت صفحه ای با ارائه نخستین نظام کامل منطق جمله ها، تحلیل جمله به تابع (function) و سرشناسه (argument) به جای موضوع و محمول، نظریه تسویر(quantification theory) ، نظام کامل صوری – استنتاجی و تعریف منطقی دنباله ریاضی، انقلابی در منطق پدید آورد که یکی از نتایج آن آشکار کردن ناتوانی ها و نقص های ذاتی منطق ارسطویی و پایان دادن به سلطه دوهزارساله آن بود.
دومین کتاب که آن نیز کوتاه بود به نام بنیادهای حساب در 1884 منتشر شد. او این کتاب را ساده تر نوشت. رد پسیکولوژیسم (روانشناسی گرایی) و دفاع از عینی بودن معنا، تمایز میان شیء و مفهوم و نسبت، اصل متن (context principle) مبنی بر اینکه تنها در متن جمله است که کلمه می تواند معنایی داشته باشد، دفاع از وجود اشیاء انتزاعی و مجرد، تکمیل مفهوم تحلیلی و مفهوم پیشینی(a priori) کانت، تعریف عدد، بیان معیار اینهمانی اشیاء، از بحث هایی است که دراین کتاب با دقت انجام وطرح شده اند.
نخست فرگه احساس می کرد که این آثار می تواند موردتوجه فیلسوفان و ریاضیدانان قرار گیرد. اما ایشان چندان توجهی بدانها ننمودند. او تقریبا به مدت پنج سال چیزی منتشر نکرد و به بازنگری فلسفه منطق ومنطق خویش پرداخت. نتیجه این بازنگری و تامل، ایراد یک سخنرانی در سال 1891 با عنوان «تابع و مفهوم» بود. او سپس به تشریح بیشتر اندیشه های خود در کتاب قوانین بنیادی حساب پرداخت. جلد نخست در 1893 و جلد دوم در 1903 منتشر شدند.
فرگه احتمالاً پس از این فعالیت های فکری پنداشت که بنیادهای متقنی را برای نظریه های اعداد طبیعی و حقیقی فراهم کرده است. اما، هنگامی که کتاب درحال چاپ بود، نامه ای از برتراند راسل جوان دریافت نمود. راسل در ژوئن 1902 در نامه خویش، تناقض یا پارادکس موجود در نظریه مجموعه ها را به فرگه گوشزد کرد.
این پارادکس را می توان چنین تشریح کرد: آشکار است که مجموعه اسبها خودش اسب نیست. به بیان دیگر، عضوخودش نیست. ولی فرض وجود مجموعه ای از همه مجموعه هایی را که عضو خودشان نیستند را درنظر آورید. این مجموعه را x نام می دهیم و می پرسیم آیا x عضو خودش هست یا نه. از یکسو به نظر می آید که نمی تواند عضو خودش باشد. زیرا اگر فرض کنیم که هست، منطقاً چنین برمی آید که x «خاصه معرّف» اعضای خویش است. و این خاصه معرّف این است که هر مجموعه ای که این خاصه آن باشد، عضو خودش نیست. لذا نمی تواند عضو خودش باشد. از سوی دیگر به نظر می آید که x باید عضو خودش باشد، زیرا اگر هم فرض را براین بگذاریم که او عضو خودش نیست، منطقاً برمی آید که عضو مجموعه هایی نیست که عضو خودشان نیستند. و این سخن بدان معنا است که x عضو خودش است. لذا چه با این فرض آغاز کنیم که x عضو خودش است، یا عضو خودش نیست، در هر دو صورت تناقض با خود پیش می آید.
فرگه در پاسخ به راسل گفت که با این پارادکس بنیاد حساب به تزلزل درآمده است. فرگه تغییری را دراین اصل (پنج) خویش اعمال کرد و در ضمیمه کتاب آورد، اما به نظر می رسد که این نیز به بروز تناقض می انجامید. راسل کوشید این دشواری را با نظریه طبقات خویش حل کند.
نظر شما